![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/06/2A-1.png)
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/06/2A-2.png)
■導線がつながっていれば等電位
電位のグラフを選ぶ問題ね。どうも電位って苦手なのよね。
それほど難しくはないんだけどね。このグラフもよく教科書に載っているんだよね。
似たようなのがいっぱいあって,どれがどれだか分からなくなるのよ。
確かに似たようなのがあるけど,基本をきちんと押さえていれば,ちゃんとグラフを選べるよ。
まず,この問題のような電気回路での電位の考え方が大切なんだ。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/2A-4.png)
金属球とか,金属の板とかひとかたまりの導体はどこも等電位なんだけど,そこに導線がつながっていたりしても,つながっている部分は全て等電位になるっていうことなんだ。
(a)の回路図を見てみると,まず左下のマークが接地とかアースといって,電位が0であることを表しているんだ。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/2A-5.png)
すると,このアースとつながっている導体は全て電位が0ということなんだ。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/2A-6.png)
電池の負極もつながっているので電位が0になるのね。
そうだよ。電池の電圧が
![Rendered by QuickLaTeX.com V_0](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-81f4668461de03e2460fdc6a37ad3a99_l3.png)
というのは,
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/2A-7.png)
ということなので,電池の正極と,そこにつながっている部分の電位は全て
![Rendered by QuickLaTeX.com V_0](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-81f4668461de03e2460fdc6a37ad3a99_l3.png)
になるんだ。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/2A-8.png)
なるほど。ということは,左の電極の電位は0で,右の電極の電位は
![Rendered by QuickLaTeX.com V_0](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-81f4668461de03e2460fdc6a37ad3a99_l3.png)
ね。
■一様な電場と電位の関係
もう一つ,よく出てくる基本的な考え方を使うんだ。一様な電場と電位の関係だ。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/2A-9.png)
この式は一様な電場
![Rendered by QuickLaTeX.com E](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-98d7cde47b314da3875e19c1327b99a8_l3.png)
のときに使えるんだ。この問題のように,2枚の極板に挟まれているところは,一様な電場と考えていいんだ。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/2A-10.png)
ということは,この
![Rendered by QuickLaTeX.com V](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c49fe0112c1ff37d2e954d0cf52d42d1_l3.png)
=
![Rendered by QuickLaTeX.com Ed](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3946d7c17c116481990795c81256203e_l3.png)
という式が使えるのね。
そうなんだ。つまり,この
![Rendered by QuickLaTeX.com V](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c49fe0112c1ff37d2e954d0cf52d42d1_l3.png)
=
![Rendered by QuickLaTeX.com Ed](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3946d7c17c116481990795c81256203e_l3.png)
が使えるということは,
![Rendered by QuickLaTeX.com E](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-98d7cde47b314da3875e19c1327b99a8_l3.png)
は一定なので,
![Rendered by QuickLaTeX.com V](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c49fe0112c1ff37d2e954d0cf52d42d1_l3.png)
と
![Rendered by QuickLaTeX.com d](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-32b3fb44dc0fd2d3ac10a27ab2a93de7_l3.png)
は比例関係ということなんだ。
■金属板を入れても極板の電位は変わらない
その通りだ。それじゃあ,極板間に金属板が入っているとどうなるだろう?
さっきと同じように考えると,左の極板の電位が0で,右の極板の電位が
![Rendered by QuickLaTeX.com V_0](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-81f4668461de03e2460fdc6a37ad3a99_l3.png)
というのは,変わらないんじゃない?
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/2A-12.png)
そうなんだよ。変わらないんだよ。なので,この段階では(a)のときと同じで,グラフは①,③,④,⑥のうちのどれかなんだ。
さっきやったけど,導体は全て等電位なんだよ。つまり,
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c4dff4ff5a0c3049aea5fac100d846bf_l3.png)
=
![Rendered by QuickLaTeX.com d](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-32b3fb44dc0fd2d3ac10a27ab2a93de7_l3.png)
から
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c4dff4ff5a0c3049aea5fac100d846bf_l3.png)
=
![Rendered by QuickLaTeX.com 2d](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-917fc5c78ceb0b8fd7cbc9662a10a508_l3.png)
までは電位は変化しないんだ。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/2A-13.png)
そうだね。この金属板は2枚の極板のちょうど真ん中に入っているので,電位もちょうど中間になるんだよ。
電位が中間ということは金属板の電位は
![Rendered by QuickLaTeX.com \frac{V_0}{2}](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2b722329c4ab4faa6020a34b7a59ed9d_l3.png)
?
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/2A-14.png)
極板と金属板の間には,(a)と同様に一様な電場ができているんだ。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/2A-11.png)
ということは,
![Rendered by QuickLaTeX.com V](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c49fe0112c1ff37d2e954d0cf52d42d1_l3.png)
=
![Rendered by QuickLaTeX.com Ed](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3946d7c17c116481990795c81256203e_l3.png)
が成り立つから,⑥のような階段状ではないわね。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/06/2A-3.png)
■コンデンサーに蓄えられたエネルギー
コンデンサーに蓄えられたエネルギーの式って,確かあったわよね。式が長かった記憶がある。
長くなんかないよ。きっと変形した分も合わせて,長いと思ってるんだよ。こうだよ。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/2A-15.png)
長く見えるけど,コンデンサーの問題でよく使う
![Rendered by QuickLaTeX.com Q](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fb4f34cf73f3dbb2479dccc2053f5c4f_l3.png)
=
![Rendered by QuickLaTeX.com CV](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a3df12a7c55a2e47aa06b7ab672f545b_l3.png)
という式で変形しているだけだよ。
そうなの?どれか1つだけ覚えれば,あとは変形するだけなの?
そうなんだよ。今この問題では,金属板を入れても入れなくても,極板間の電圧は
![Rendered by QuickLaTeX.com V_0](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-81f4668461de03e2460fdc6a37ad3a99_l3.png)
なのと,いずれにせよ電気容量
![Rendered by QuickLaTeX.com C](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-606b82b0f5c713a03806b7d79791c340_l3.png)
を求めなきゃダメなので,
![Rendered by QuickLaTeX.com $$U=\frac{1}{2}CV^2$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-48b2a61f49e21c3c7816aace64a65a47_l3.png)
なるほど,ちょっとできそう。(a)と(b)のコンデンサーの電気容量をそれぞれ
![Rendered by QuickLaTeX.com C_a](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e4ac40aedfd764f16262c7323b56962b_l3.png)
,
![Rendered by QuickLaTeX.com C_b](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-143bf2a9582b383e8899186c9c476d52_l3.png)
とすると,
![Rendered by QuickLaTeX.com $$\frac{U_b}{U_a}=\frac{\displaystyle \frac{1}{2}C_bV_0^2}{\displaystyle \frac{1}{2}C_aV_0^2}=\frac{C_b}{C_a}$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1cc8be7b67687ce3a92f1aaa4dac22a3_l3.png)
いいね。結局はエネルギーの比は電気容量の比になるということだよね。
■電気容量と極板間距離の関係
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/2A-16.png)
まず(a)の方は簡単で,極板の面積を
![Rendered by QuickLaTeX.com S](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a93fe1e7ab314d839d6ef501e693460b_l3.png)
とすると,
![Rendered by QuickLaTeX.com $$C_a=\varepsilon \frac{S}{3d}$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bf14720304ec363bd0657c0ccee02f03_l3.png)
金属板については,2通りのやり方があって,今は両方やってみようか。まずは金属板を極板と考える方法だ。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/2A-17.png)
■コンデンサーの直列接続
2つのコンデンサーの合成容量は,直列接続と並列接続でこんな関係だったよね。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/2A-19.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $$\frac{1}{C_b}=\frac{1}{\displaystyle \varepsilon \frac{S}{d}}+\frac{1}{\displaystyle \varepsilon \frac{S}{d}}=\frac{2d}{\varepsilon S}$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-557d0b097cd1a1a520909ffee02f9c7b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $$C_b=\varepsilon \frac{S}{2d}$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-644b8e5709550c76e338802029c1ef36_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $$\frac{U_b}{U_a}=\frac{C_b}{C_a}=\frac{\displaystyle \varepsilon \frac{S}{2d}}{\displaystyle \varepsilon \frac{S}{3d}}=\frac{3}{2}$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f060dc121a9437d8e94b915eff7c6ee_l3.png)
■電気容量は金属板をどこに入れても同じ
もう一つの方法でもやっておこう。2枚の極板の間に金属板を挿入した場合の電気容量は,金属板をどの場所に入れても同じなんだ。
金属板を真ん中に入れても,左右どちらかに寄っていても同じっていうこと?
そうなんだよ。さっきのやり方だと,金属板は真ん中にあるということで,2つのコンデンサーの直列接続だ,と考えたけど,金属板を例えば右側に寄せちゃうと簡単になるね。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/2A-18.png)
そうだよ。この問題の場合は,極板間隔が
![Rendered by QuickLaTeX.com 2d](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-917fc5c78ceb0b8fd7cbc9662a10a508_l3.png)
になったと考えられるね。
![Rendered by QuickLaTeX.com $$C_b = \varepsilon \frac{S}{2d}$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f73bfe4486bc0605e5072a3bfb3b1fb8_l3.png)
さっきはコンデンサーの直列接続の式を使って,分数のややこしい計算をして
![Rendered by QuickLaTeX.com C_b](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-143bf2a9582b383e8899186c9c476d52_l3.png)
を求めたけど,これだと計算しなくても求まるじゃない!
簡単に同じ答えになるでしょ。このポイントは覚えておいたほうがいいね。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/2A-20.png)