センター2017物理第2問A「極板間への金属の挿入と電位のグラフ」

■導線がつながっていれば等電位

物理が苦手な文子
電位のグラフを選ぶ問題ね。どうも電位って苦手なのよね。

物理が得意な秀樹
それほど難しくはないんだけどね。このグラフもよく教科書に載っているんだよね。

物理が苦手な文子
似たようなのがいっぱいあって,どれがどれだか分からなくなるのよ。

物理が得意な秀樹
確かに似たようなのがあるけど,基本をきちんと押さえていれば,ちゃんとグラフを選べるよ。

物理が苦手な文子
基本って,どういうこと?

物理が得意な秀樹
まず,この問題のような電気回路での電位の考え方が大切なんだ。

物理が苦手な文子
どういうこと?

物理が得意な秀樹
金属球とか,金属の板とかひとかたまりの導体はどこも等電位なんだけど,そこに導線がつながっていたりしても,つながっている部分は全て等電位になるっていうことなんだ。

物理が苦手な文子
ん〜,具体的にはどういうこと?

物理が得意な秀樹
(a)の回路図を見てみると,まず左下のマークが接地とかアースといって,電位が0であることを表しているんだ。

物理が苦手な文子
それは知ってるわ。

物理が得意な秀樹
すると,このアースとつながっている導体は全て電位が0ということなんだ。

物理が苦手な文子
電池の負極もつながっているので電位が0になるのね。

物理が得意な秀樹
そうだよ。電池の電圧がV_0というのは,

物理が得意な秀樹
ということなので,電池の正極と,そこにつながっている部分の電位は全てV_0になるんだ。

物理が苦手な文子
なるほど。ということは,左の電極の電位は0で,右の電極の電位はV_0ね。

物理が得意な秀樹
つまり,x=00x=3dV_0のグラフを選べばいいんだ。

物理が苦手な文子
この段階では①,③,④,⑥ね。

■一様な電場と電位の関係

物理が得意な秀樹
もう一つ,よく出てくる基本的な考え方を使うんだ。一様な電場と電位の関係だ。

物理が苦手な文子
この式は見たことがあるわ。

物理が得意な秀樹
この式は一様な電場Eのときに使えるんだ。この問題のように,2枚の極板に挟まれているところは,一様な電場と考えていいんだ。

物理が苦手な文子
ということは,このV=Edという式が使えるのね。

物理が得意な秀樹
そうなんだ。つまり,このV=Edが使えるということは,Eは一定なので,Vdは比例関係ということなんだ。

物理が苦手な文子
つまり,原点を通る直線だから,答えは①ね。

■金属板を入れても極板の電位は変わらない

物理が得意な秀樹
その通りだ。それじゃあ,極板間に金属板が入っているとどうなるだろう?

物理が苦手な文子
さっきと同じように考えると,左の極板の電位が0で,右の極板の電位がV_0というのは,変わらないんじゃない?

物理が得意な秀樹
そうなんだよ。変わらないんだよ。なので,この段階では(a)のときと同じで,グラフは①,③,④,⑥のうちのどれかなんだ。

物理が苦手な文子
それじゃあ,金属板が入るの何が変わるの?

物理が得意な秀樹
さっきやったけど,導体は全て等電位なんだよ。つまり,x=dからx=2dまでは電位は変化しないんだ。

物理が苦手な文子
それじゃあ,①ではないということね。

物理が得意な秀樹
そうだね。この金属板は2枚の極板のちょうど真ん中に入っているので,電位もちょうど中間になるんだよ。

物理が苦手な文子
電位が中間ということは金属板の電位は\frac{V_0}{2}

物理が得意な秀樹
その通り。

物理が苦手な文子
グラフは③か⑥ね。

物理が得意な秀樹
極板と金属板の間には,(a)と同様に一様な電場ができているんだ。

物理が苦手な文子
ということは,V=Edが成り立つから,⑥のような階段状ではないわね。

物理が得意な秀樹
そうだね。答えは③だね。次は問2だ。

 

■コンデンサーに蓄えられたエネルギー

物理が苦手な文子
コンデンサーに蓄えられたエネルギーの式って,確かあったわよね。式が長かった記憶がある。

物理が得意な秀樹
長くなんかないよ。きっと変形した分も合わせて,長いと思ってるんだよ。こうだよ。

物理が苦手な文子
やっぱり長いじゃない!

物理が得意な秀樹
長く見えるけど,コンデンサーの問題でよく使うQ=CVという式で変形しているだけだよ。

物理が苦手な文子
そうなの?どれか1つだけ覚えれば,あとは変形するだけなの?

物理が得意な秀樹
そうなんだよ。今この問題では,金属板を入れても入れなくても,極板間の電圧はV_0なのと,いずれにせよ電気容量Cを求めなきゃダメなので,

    $$U=\frac{1}{2}CV^2$$

物理が得意な秀樹
を使おう。

物理が苦手な文子
なるほど,ちょっとできそう。(a)と(b)のコンデンサーの電気容量をそれぞれC_aC_bとすると,

    $$\frac{U_b}{U_a}=\frac{\displaystyle \frac{1}{2}C_bV_0^2}{\displaystyle \frac{1}{2}C_aV_0^2}=\frac{C_b}{C_a}$$

物理が苦手な文子
となるわよね。

物理が得意な秀樹
いいね。結局はエネルギーの比は電気容量の比になるということだよね。

■電気容量と極板間距離の関係

物理が苦手な文子
それじゃあ,電気容量の比はどうなるの?

物理が得意な秀樹
まず電気容量にはこんな式があったよね。

物理が苦手な文子
見たことある。

物理が得意な秀樹
まず(a)の方は簡単で,極板の面積をSとすると,

    $$C_a=\varepsilon \frac{S}{3d}$$

物理が苦手な文子
(b)の金属板はどうするの?

物理が得意な秀樹
金属板については,2通りのやり方があって,今は両方やってみようか。まずは金属板を極板と考える方法だ。

■コンデンサーの直列接続

物理が苦手な文子
直列だとどうするんだっけ?

物理が得意な秀樹
2つのコンデンサーの合成容量は,直列接続と並列接続でこんな関係だったよね。

物理が苦手な文子
ということは,逆数にするから,

    $$\frac{1}{C_b}=\frac{1}{\displaystyle \varepsilon \frac{S}{d}}+\frac{1}{\displaystyle \varepsilon \frac{S}{d}}=\frac{2d}{\varepsilon S}$$

    $$C_b=\varepsilon \frac{S}{2d}$$

物理が得意な秀樹
いいぞ。ということは?

物理が苦手な文子
ということは,

    $$\frac{U_b}{U_a}=\frac{C_b}{C_a}=\frac{\displaystyle \varepsilon \frac{S}{2d}}{\displaystyle \varepsilon \frac{S}{3d}}=\frac{3}{2}$$

物理が得意な秀樹
その通りだ。答えは⑤だね。

■電気容量は金属板をどこに入れても同じ

物理が得意な秀樹
もう一つの方法でもやっておこう。2枚の極板の間に金属板を挿入した場合の電気容量は,金属板をどの場所に入れても同じなんだ。

物理が苦手な文子
金属板を真ん中に入れても,左右どちらかに寄っていても同じっていうこと?

物理が得意な秀樹
そうなんだよ。さっきのやり方だと,金属板は真ん中にあるということで,2つのコンデンサーの直列接続だ,と考えたけど,金属板を例えば右側に寄せちゃうと簡単になるね。

物理が苦手な文子
コンデンサーの極板間隔が狭くなったと考えるの?

物理が得意な秀樹
そうだよ。この問題の場合は,極板間隔が2dになったと考えられるね。

物理が苦手な文子
こういうこと?

    $$C_b = \varepsilon \frac{S}{2d}$$

物理が得意な秀樹
そうだよ。

物理が苦手な文子
さっきはコンデンサーの直列接続の式を使って,分数のややこしい計算をしてC_bを求めたけど,これだと計算しなくても求まるじゃない!

物理が得意な秀樹
簡単に同じ答えになるでしょ。このポイントは覚えておいたほうがいいね。

物理が苦手な文子
覚えておくわ。