![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/06/4A-1.png)
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/06/4A-2.png)
■平面的な図に描き直す
円錐面ってあんまり見たことがないけど,どんなイメージなの?
パーティーのときにかぶる円錐形のとんがり帽子とか,ソフトクリームのコーンみたいな感じだよね。ソフトクリームの「コーン」って,そもそも「円錐」っていう意味だからね。
へー,そうなの。とうもろこしの「コーン」じゃないんだ。
円錐はcone,とうもろこしはcornだね。まぁ,とりあえずその円錐面の内側を小物体がすべり降りるんだね。
そういうことだよね。そう考えると,よくある問題でしょ。
でも図が立体的に描かれているので,力の矢印が描きにくいわ。
問題にある図に描き込むんじゃなくて,平面的な図に描き直したほうがいいよ。
やっぱりそうだよね。手前から見た図を描いてみると,こんな感じかな?
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/4A-5.png)
それでいいね。少し簡単にできる方法もあるんだけど,先に通常のやり方で問いてみよう。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/4A-6.png)
重力
![Rendered by QuickLaTeX.com mg](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c6796c10a0c8cf06eb2e82c68bbef38a_l3.png)
と,あとくっついているのは円錐面だけだから,円錐面から受ける垂直抗力
![Rendered by QuickLaTeX.com N](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f8cdf7858fabdd1d4ad8e104a8547e8f_l3.png)
ね。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/4A-7.png)
その2力だけだね。次は重力を斜面方向と,斜面に垂直な方向に分けてみようか。ついでに,角度
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88d80b77176122c37c2a3e139073e539_l3.png)
がどこか分かるかな。
■θの位置がいつもと違う
たぶん
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88d80b77176122c37c2a3e139073e539_l3.png)
はここよね。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/4A-8.png)
そうだね。実は,一般的に斜面を滑り降りる問題では,
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88d80b77176122c37c2a3e139073e539_l3.png)
が水平面とのなす角で与えられるんだけど,この問題は鉛直面とのなす角なんだよね。
たしかにそうね。なんとなくいつも描いている図と違う感じがしたわ。
たしか,
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88d80b77176122c37c2a3e139073e539_l3.png)
とくっついているか,向かい合っているかで分かるのよね。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/4A-9.png)
そうだね,
![Rendered by QuickLaTeX.com \sin \theta](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-756adfd68dda01e6abde3e82d8a7aa50_l3.png)
と
![Rendered by QuickLaTeX.com \cos \theta](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7edb5a59d43da7d8f941a30352216298_l3.png)
の関係がいつもと逆になるんだね。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/4A-10.png)
最後に斜面下向きの加速度と,その向きを正にとって図を描こう。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/4A-11.png)
■図が完成したら,運動方程式
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/4A-12.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $$ma=mg\cos \theta$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6ed761c9d071a51d1f7bf673167149f9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $$a=g\cos \theta$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-22f76839dc5f461c2e3f27d270b7e234_l3.png)
■加速度が分かったら,等加速度直線運動の式
これで加速度が求まったね。あとは,等加速度直線運動の公式を使って,時間を求めよう。どの式を使うかな?
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/4A-13.png)
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/4A-14.png)
分かっているのは,問題文に「静かに放した」とあるので,
![Rendered by QuickLaTeX.com v_0=0](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7a48047f400f2f0a18690a9acf4b3c42_l3.png)
,距離が
![Rendered by QuickLaTeX.com \ell](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-90cdaed943ffb909e2ccacdec3bcc042_l3.png)
,加速度が
![Rendered by QuickLaTeX.com g\cos \theta](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-661f7f791afcf33f00a0b7d90e53d29a_l3.png)
,求めたいのが時間
![Rendered by QuickLaTeX.com t](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b51956305dfcacbd6d1f109eea1e3de6_l3.png)
だから,2番めの式ね。
より,
![Rendered by QuickLaTeX.com $$\ell =0+\frac{1}{2}\times g\cos \theta t^2$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b84e1c152d6e7a85c6b4c545f668be26_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $$t=\sqrt{\frac{2\ell}{g\cos\theta}}$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-16eb087041871c15d6a6b5c2cfccc355_l3.png)
■摩擦がなければ,重力加速度を分解しても良い
そういえばさっき,簡単な方法があるとかって言ってたわよね。
そうだったね。この問題のように,摩擦がない斜面を降りる問題では,斜面方向の加速度は,重力加速度を斜面方向に分解しても良かったんだ。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/4A-15.png)
えっ,それだけでいいの?今はこの斜面方向の加速度を求めるために,力の矢印を描いて,力を分解して,運動方程式を立てて,加速度を求めたのよ。
最初のやり方だと,どんな場合でも対応できるんだ。この重力加速度を分けるやり方は,斜面方向に他の力がはたらいていないときしか使えないんだよ。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/06/4A-3.png)
■やっぱり平面的な図に描き直す
これも図を平面的に描こうか。ただ,さっきと同じように手前から見た図と,上から見た図の2つがあるといいかな。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/4A-16.png)
手前から見た図で,力の矢印は重力と,垂直抗力の2つですよね。さっきと同じ。
垂直抗力の大きさは変わるけど,重力と垂直抗力の2力っていうのは変わらないね。
■力は加速度の向きに分ける
上から見た図に描いてあるけど,等速円運動をしているので,加速度の向きは円の中心方向だよね。なので,円の中心方向にはたらいている力を求めたいんだ。
そうか,さっきは斜面下方向に加速していたから,斜面下方向の力を求めたのね。今は円の中心方向に加速度を持っているから,円の中心方向の力を求めるのね。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/4A-17.png)
円の中心方向の加速度の大きさは
![Rendered by QuickLaTeX.com \beta](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-44f693dec9dc0c62aa2fed122fbc860c_l3.png)
にしておこう。本当は
![Rendered by QuickLaTeX.com a](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f8b78d973b618d00daa459b289f00881_l3.png)
にしたいけど,
![Rendered by QuickLaTeX.com a](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f8b78d973b618d00daa459b289f00881_l3.png)
は円運動の半径として,使われているからね。
加速度があるということは,運動方程式を立てるのね。
そうだね。円の中心方向を正として,運動方程式を立ててみようか。
![Rendered by QuickLaTeX.com ma=F](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-058ab91fe33b19b1dd334325b146e031_l3.png)
より,
![Rendered by QuickLaTeX.com $$m\beta =N\cos \theta $$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8d31a163313ffb15b08896ea82a438b4_l3.png)
■等速円運動で使われる式の確認
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/4A-22.png)
そうだね。このうち,どれか一つ覚えれば,等速円運動の速さの式で変形できるんだよね。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/4A-23.png)
これを使って,変形すると,
![Rendered by QuickLaTeX.com \beta =\displaytype \frac{{v_0}^2}{a}](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fc030abf0ff44a7bf7d720b4804a769f_l3.png)
より,
![Rendered by QuickLaTeX.com $$m\times \frac{{v_0}^2}{a}=N\cos\theta$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e65341a17af070bbeb78f032b57a7ecb_l3.png)
こうなるけど,
![Rendered by QuickLaTeX.com a](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f8b78d973b618d00daa459b289f00881_l3.png)
を求めたいけど
![Rendered by QuickLaTeX.com N](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f8cdf7858fabdd1d4ad8e104a8547e8f_l3.png)
が消えないわね。
今度は手前から見た図で,鉛直方向の力のつりあいの式を立てるんだ。
なるほど。鉛直上向きを正として,力のつりあいの式を立てるわね。
![Rendered by QuickLaTeX.com $$N\sin\theta -mg =0$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ef1566e4a8719e46f877a920df94e80b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $$N=\frac{mg}{\sin\theta}$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-26bab9a2b8ad986259cd74de406a1d85_l3.png)
そうだね。ということは,
![Rendered by QuickLaTeX.com a](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f8b78d973b618d00daa459b289f00881_l3.png)
が求まるかな?
![Rendered by QuickLaTeX.com $$m\times \frac{{v_0}^2}{a}=\frac{mg}{\sin\theta}\cos\theta$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-232c9598cd7acdd7e915c35b2ffaefe7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $$a=\frac{{v_0}^2\tan \theta}{g}$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-227f7eae1bc9c2019f98df8759da1f1b_l3.png)
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/06/4A-4.png)
■向きがわからない
また立体的な図だけど,今度は平面的な図に描きにくいわ。
たしかにそうだね。でもポイントさえわかれば描けるよ。
ポイントどころか,いろいろと分からないわ。初速度の大きさ
![Rendered by QuickLaTeX.com v_1](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cef01810d9327bb8a89af3f977704180_l3.png)
を与えたみたいだけど,速度の向きもわからないし,点Bでの速度の向きも全くわからないし。
向きがわからないということは,向きが関係ない式を使うということだ。
今までのように力の矢印を描くときは,向きが大切だよね。ということは,今は力は関係ないね。
高さと速さの関係といえば,「力学的エネルギー保存の法則」かな?
そうだよ。なので,高さと速さがわかればいいので,高さと速さが分かる図が描けるかな。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/4A-20.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \ell _1](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f2027c6984fab47594cdf31bd56ada28_l3.png)
と
![Rendered by QuickLaTeX.com \ell _2](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-48baf4fecfdce584505476b4d1204b4d_l3.png)
は斜面方向の高さなので,鉛直方向の高さ
![Rendered by QuickLaTeX.com h_1](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-addc681b28b405bd7c168ae5080591e2_l3.png)
と
![Rendered by QuickLaTeX.com h_2](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9e305ca9cea8e1c08747ecbeb9693218_l3.png)
は分かるかな?
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/4A-21.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $$h_1=\ell _1 \cos \theta$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-08253b64e3e9fd50cfd5bee5a764eb30_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $$h_2=\ell_2 \cos \theta$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a58005bf106d1a9baee2df93bb181268_l3.png)
いいね。それでは,力学的ネルギー保存の法則を使って式を立ててみようか。
Oの高さを基準として,AとBで力学的エネルギー保存の法則を立てるわ。
Aの力学的エネルギー=Bの力学的エネルギー
![Rendered by QuickLaTeX.com $$\frac{1}{2}m{v_1}^2+mgh_1=\frac{1}{2}m{v_2}^2+mgh_2$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e6bc2bd8fdbf4ebb6ec77ee14b68f309_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $${v_2}^2={v_1}^2+2g(h_1-h_2)$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-96fa588ba9307ff03240d50cc99c8297_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $${v_2}^2={v_1}^2+2g(\ell_1-\ell_2)\cos\theta$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a055f2e54b8faf9f4ed6c4cd9bee1cd5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $$v_2=\sqrt{{v_1}^2+2g(\ell_1-\ell_2)\cos\theta}$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c003575cdd92e271646d6452d08ed258_l3.png)