![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/06/3B-1.png)
■問題文から「単原子分子」を探せ
最初に内部エネルギーを求める問題ね。どうすればいいの?
内部エネルギーについては,覚えておかなければならない重要なポイントが有るんだ。キーワードは「単原子分子」だよ。
正確には「単原子分子理想気体」なんだけど,「理想気体とはみなさい」という場合はほとんど無いので,大切なのは「単原子分子」であるかどうかなんだ。まずは問題文に「単原子分子」という言葉を探そう。
この問題ではいきなり「単原子分子」と書いてあるわ。
そうだね。もちろん「理想気体」とも書いてある。その場合,内部エネルギーが分かるんだ。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/3B-4.png)
この式が使えるのね。問題文には物質量
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1008367c9b21df00bf85bf80c5a3e8ba_l3.png)
,状態Aの温度
![Rendered by QuickLaTeX.com T_0](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6c4c6c9870e7b2fc899087b23283fa82_l3.png)
,気体定数
![Rendered by QuickLaTeX.com R](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-24df37163aaf6bb2c12279eb622eeca6_l3.png)
とあるので,そのまま入れればいいの?
![Rendered by QuickLaTeX.com $$U=\frac{3}{2}nRT_0$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ca0bf29fa9d58ac5aedd919544ff6c50_l3.png)
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/06/3B-2.png)
■p-Vグラフからボイル・シャルルの法則へ
他に情報はないよね。分かりやすいように情報をまとめておこうか。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/3B-5.png)
求めたい状態Bの温度を
![Rendered by QuickLaTeX.com T_B](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ef75143ba892f45b1ed9d58c498ed515_l3.png)
としたのね。
体積,圧力,温度の関係があるということは,「ボイル・シャルルの法則」かな?
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/3B-6.png)
状態A=状態B
![Rendered by QuickLaTeX.com $$\frac{p_0V_0}{T_0}=\frac{2p_0V_0}{T_B}$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-306837f3e73fbe5ada10c90b2c48ecae_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $$T_B=2T_0$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ca76ca6963e9b4663ae2ebbb17f92b85_l3.png)
つまり,状態Bの温度は
![Rendered by QuickLaTeX.com T_0](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6c4c6c9870e7b2fc899087b23283fa82_l3.png)
の2倍ね。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/06/3B-3.png)
■熱力学第一法則は式と矢印の向きが大切
この分野で熱量を求める問題の場合,まず考えるのは「熱力学第一法則」だね。
確かに,熱が入ったのか出たのか,仕事をしたのかされたのか,内部エネルギーが増加したのか減少したのか,それぞれいろいろなパターンがあるからね。ポイントは,式と矢印の向きを一緒に覚えることだよ。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/3B-7.png)
矢印の向きを考えると,気体に熱が加えられて,気体が外から仕事をされたら,内部エネルギーがその分だけ増加するっていうことね。
そのように読み取れたら完璧だよ。あとは問題文を読んで,矢印の向きが逆だと,式にマイナスを付ければいいね。
■熱量の正負
まず,問題文には「放出する熱量」とあるわ。矢印の向きで考えると,さっきの図と逆ね。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/3B-8.png)
そうだね。ということは,
![Rendered by QuickLaTeX.com Q](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fb4f34cf73f3dbb2479dccc2053f5c4f_l3.png)
にはマイナスが付くね。仕事の正負は問題文にはないので,グラフで考えるよ。
■仕事の正負
過程C→Aを考えるので,体積は減少しているわね。つまり,仕事の矢印の向きはさっきの図と同じね。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/3B-9.png)
仕事の符号はそのままでいいということだね。次は仕事の大きさを求めるんだけど,仕事を求めるときは,「定圧変化」であるかどうかが大切なんだ。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/3B-10.png)
「過程C→Aは定圧変化」と問題文にあるし,グラフからもその圧力は
![Rendered by QuickLaTeX.com p_0](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0576301c506fd5c5e61ef82397c98a46_l3.png)
で一定と読み取れるわ。
そうだね。なので過程C→Aで気体が外からされた仕事はこうなるよ。
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{eqnarray*}W&=&p_0 \times (2V_0-V_0)\\&=&p_0V_0\end{eqnarray*}](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e88f5bceee4a997e468841afb1952432_l3.png)
■内部エネルギーの増加量
内部エネルギーの増加量は,単原子分子理想気体の場合は,
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle U=\frac{3}{2}nRT](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-26934023a5772346da29a67771dfde37_l3.png)
を変形すればいいんだ。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/3B-11.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \Delta T](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-26afa3ee1c3941def9fc2742a0e8d5ba_l3.png)
があるので,温度がわからなきゃダメね。Aの温度は
![Rendered by QuickLaTeX.com T_0](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6c4c6c9870e7b2fc899087b23283fa82_l3.png)
でいいとして,Cの温度はボイル・シャルルの法則で求めるの?
そんなことしなくても,「過程B→Cは等温変化」って問題に書いてあるでしょ。
そうか,ということはBの温度はさっき求めた
![Rendered by QuickLaTeX.com 2T_0](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dffb248529c6e78a3230a423357c9134_l3.png)
だから,Cの温度も
![Rendered by QuickLaTeX.com 2T_0](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dffb248529c6e78a3230a423357c9134_l3.png)
ね。
温度はわかったけど,
![Rendered by QuickLaTeX.com \Delta T](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-26afa3ee1c3941def9fc2742a0e8d5ba_l3.png)
はどっちの温度からどっちの温度を引けばいいの?
「変化量」とか「増加量」という場合は,「あとの量からまえの量を引く」んだ。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/3B-12.png)
ということは,過程C→Aを考えているんだから,Aの温度からCの温度を引くね。
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{eqnarray*}\Delta U&=&\frac{3}{2}nR\Delta T\\&=&\frac{3}{2}nR(T_0-2T_0)\\&=&-\frac{3}{2}nRT_0\end{eqnarray*}](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b1298159ab89c5de61e4046d56922152_l3.png)
いいんだよ。増加量がマイナス,ということは内部エネルギーは減少したっていうことだよね。つまり温度が下がったということだ。それでは熱力学第一法則を考えてみるよ。
いろいろあったので,まとめてみるわ。まずは熱力学第一法則の式の
![Rendered by QuickLaTeX.com Q](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fb4f34cf73f3dbb2479dccc2053f5c4f_l3.png)
がマイナスになるので,
![Rendered by QuickLaTeX.com $$\Delta U=-Q+W$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55482e37dd75e73e9fc2a61e5d8f7f8d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $$Q=W-\Delta U$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3113a1fcc70a2dfb256612f9b8a702fa_l3.png)
ここに,求めた
![Rendered by QuickLaTeX.com W](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f4c9a3f951b2bb657ca96ba5778b380c_l3.png)
と
![Rendered by QuickLaTeX.com \Delta U](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7fa2d1c9e1aa9234c84da2cc5bbcbf63_l3.png)
を入れると,
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{eqnarray*}Q&=&p_0V_0-(-\frac{3}{2}nRT_0)\\&=&p_0V_0+\frac{3}{2}nRT_0\end{eqnarray*}](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-98651648418b2c0002b00c4786f9933c_l3.png)
でも求めたいのは,この
![Rendered by QuickLaTeX.com Q](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fb4f34cf73f3dbb2479dccc2053f5c4f_l3.png)
が
![Rendered by QuickLaTeX.com nRT_0](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-69c324e3233132dd97440ff1291470cf_l3.png)
の何倍か,ということよ。
![Rendered by QuickLaTeX.com p_0V_0](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f87e1ef682136df6da58ca29e539eef7_l3.png)
が邪魔だわ。
■理想気体の状態方程式
そうだね。でも気が付かないかな。
![Rendered by QuickLaTeX.com pV](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8c39f5597e6b457ffb0af401bc28642e_l3.png)
が使えなくて,
![Rendered by QuickLaTeX.com nRT](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7fa8120b27288a08b585968fee028abd_l3.png)
で表したいんだよ。
![](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2017/02/3B-13.png)
この理想気体の状態方程式は,グラフのA,B,Cのどの点でも成り立つんだ。
もちろん,どこでもいいんだ。一番シンプル式が立てられそうなのはAだよね。Aで式を立ててみると,
![Rendered by QuickLaTeX.com $$p_0V_0=nRT_0$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-884a4bc20bc907b03566037565272df9_l3.png)
そうだね。話を戻すと
![Rendered by QuickLaTeX.com Q](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fb4f34cf73f3dbb2479dccc2053f5c4f_l3.png)
はどうなるかな?
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{eqnarray*}Q&=&p_0V_0+\frac{3}{2}nRT_0\\&=&nRT_0+\frac{3}{2}nRT_0\\&=&\frac{5}{2}nRT_0\end{eqnarray*}](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-af063ac18005667a7470668cfa97d321_l3.png)