センター2019物理追試第２問A「極板間隔を変えられるコンデンサーを含む回路」

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静電エネルギーの３つの式を使い分けよう

物理が苦手な文子
スイッチSを閉じて十分時間が経つと，２つのコンデンサーの両端の電圧は電池の起電力Vになるのよね。
物理が得意な秀樹
そうだね。コンデンサーに蓄えられる静電エネルギーの式を確認しておこう。
物理が苦手な文子
最初はコンデンサーC2の電気容量がCだから，使うのはU=\frac{1}{2}CV^2ね。
物理が得意な秀樹
求めたいのは静電エネルギーの和だね。
物理が苦手な文子
こういうことね。

    \begin{eqnarray*}U&=&\frac{1}{2}CV^2+\frac{1}{2}CV^2\\&=&CV^2\end{eqnarray*}

物理が得意な秀樹
そう，答えは③だ。

電気容量は極板間隔に反比例する

物理が苦手な文子
最初の空欄は，極板間隔を２倍にすると，電気容量がどうなるかね。
物理が得意な秀樹
この電気容量の関係式は覚えてるよね。
物理が苦手な文子
覚えているわ。電気容量は極板間隔に反比例するから，最初の空欄は\frac{C}{2}ね。
物理が得意な秀樹
そうだね。
物理が苦手な文子
次は並列の合成容量ね。並列の場合は単純に電気容量の和を取ればいいのよね。

直列の合成容量の式には注意が必要

物理が得意な秀樹
並列の場合は，それで問題ないね。一応確認しておくけど，直列の場合の合成容量の式はコンデンサーに蓄えられている電気量が同じじゃないと使えないからね。
物理が苦手な文子
えっ，そうなの？知らなかった。ちゃんと覚えておくわ。今は並列だから，合成容量をC_1とすると，

    \begin{eqnarray*}C_1&=&C+\frac{C}{2}\\&=&\frac{3C}{2}\end{eqnarray*}

物理が得意な秀樹
これで答えが③か④に絞られたね。

電圧を求めるために，電気量保存の式を立てる

物理が苦手な文子
最後の空欄は電圧を求めるんだけど，これはどうすればいいの？
物理が得意な秀樹
まずはスイッチを開く前の電気量を確認しておこう。
物理が苦手な文子
電気量はこんな感じね。
物理が得意な秀樹
スイッチを開いてから極板間隔を２倍にするんだよね。
物理が苦手な文子
その時の電圧を求めるんだから，電圧をV_1，電気量をそれぞれQ_1,Q_2としてQ=CVの式を２本立てて連立方程式を解けばいいわね。
物理が得意な秀樹
あと電気量保存の式も必要だね。３本の連立方程式だ。もちろんそれでもいいけど，連立しないで解く方法も知っているといいよ。求める電圧をV_1とするところまでは同じだ。
物理が得意な秀樹
２つのコンデンサーに蓄えられる電気量をC,V_1で表してみよう。
物理が苦手な文子
それは簡単。Q=CVを使うえばいいわね。
物理が得意な秀樹
あとは電気量保存の式を立てるだけだ。
物理が苦手な文子
えっ，それだけ。スイッチを開く前と開いたあとで電気量保存の式を立てるわね。

    \begin{eqnarray*}CV+CV&=&CV_1+\frac{C}{2}V_1\\2CV&=&\frac{3C}{2}V_1\\V_1&=&\frac{4V}{3}\end{eqnarray*}

物理が得意な秀樹
簡単だったでしょ。答えは④だ。
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