センター2018物理第2問B「落下するコイルと電磁誘導」

■ファラデーの電磁誘導の法則

物理が苦手な文子
グラフを選ぶ問題ね。電池も何もないけど,コイルに電流は流れるの?

物理が得意な秀樹
電磁誘導っていうやつだね。

物理が苦手な文子
あー電磁誘導か。ファラデーの電磁誘導の法則っていうやつ?

物理が得意な秀樹
そうだね。どんな法則か覚えてる?

物理が苦手な文子
なんか難しい,っていうことは覚えてるけど・・・

物理が得意な秀樹
こんな感じだよ。

物理が苦手な文子
やっぱりちょっと難しいわ。

物理が得意な秀樹
まぁ確かに最初からマイナスがついていたり,あまり見かけない\Phiという文字が入っていたり,いやな感じではあるよね。一応この式を使っても答えは出せるんだけど,この式から導き出される次の式の方が使いやすいんだ。

物理が苦手な文子
見たことはあるわ。

物理が得意な秀樹
棒に生じる起電力が関係しているときには,この式が便利なんだ。今は,コイルの辺abが磁場(磁界)に入るまでは,起電力は生じないからコイルに流れる電流は0ね。

物理が苦手な文子
確かにどのグラフも原点より左側は0になってるわね。

物理が得意な秀樹
原点より右側は,①から④のように急に電流が流れるか,⑤から⑧のように徐々に電流が大きくなるのかは,分かるかな?

物理が苦手な文子
どっちもありそうだけど・・・

物理が得意な秀樹
図で考えてみようか。

物理が苦手な文子
問題文に「一定の速さで落下した」とあるわね。

物理が得意な秀樹
そこは大切だね。次の問4では,その一定の速さvを求めることになっているよ。

物理が苦手な文子
速さをvとすると,さっきの式V=vBlが使えるのね。

物理が得意な秀樹
今は,磁場に垂直な辺abを考えればいいね。

物理が苦手な文子
磁場に入っているこの横の辺は考えなくていいの?

物理が得意な秀樹
磁場に垂直な辺だけを考えるんだよ。磁場の向きに磁力線があるんだけど,その磁力線を横切っている部分だけを考えるんだ。だから,横の辺は考えなくていいんだね。

物理が苦手な文子
なるほど。ということは,辺abだけを考えればよくて,発生する起電力Vは,

    $$V=vBw$$

となるわね。

物理が得意な秀樹
そうだね。そうすると,コイル全体の抵抗がRだから,流れる電流Iはどうなるかな?

物理が苦手な文子
オームの法則でいいわよね。

    \begin{eqnarray*}I&=&\frac{V}{R}\\&=&\frac{vBw}{R}\end{eqnarray*}

物理が得意な秀樹
そうだね。ということは,電流は時間によらず一定値ということだよね。つまり,⑤から⑧のグラフではないということだ。

物理が苦手な文子
①から④のどれかね。

物理が苦手な文子
次は,流れる電流の向きが正か負かね。電流の向きはどうやって求めるの?

物理が得意な秀樹
さっきのファラデーの電磁誘導の法則の,「コイルの磁束の変化をさまたげる向きに起電力が生じる」ということから求めてもいいし,コイルの中の自由電子が受けるローレンツ力の向きから求めることができるよ。

物理が苦手な文子
ローレンツ力?聞いたことはあるけど・・・

物理が得意な秀樹
磁場中で荷電粒子が運動している時に受ける力のことだけど,これはまぁ別の所で話をすることにして,もう一つ電流の向きを求める方法があるんだ。

物理が苦手な文子
まだあるの?

■フレミング”右手”の法則

物理が得意な秀樹
「フレミング右手の法則」っていうんだ。

物理が苦手な文子
左手じゃなくて右手?

物理が得意な秀樹
そう右手。左手の法則と同じように,右手の中指,人差し指,親指がそれぞれ直角になるようにするんだ。

物理が苦手な文子
右手の指を直角にするのね。

物理が得意な秀樹
そうすると,誘導起電力,磁場,運動の向きを示してるんだ。

物理が苦手な文子
指と意味の対応を覚えなきゃだめなのね。

物理が得意な秀樹
一般的には,中指から順に「電磁動」と覚えるといいよ。

物理が苦手な文子
それじゃあ,フレミング右手の法則を使ってみると,人差し指が磁場の向きだから,紙面に垂直で裏から表の向きね。親指は運動の向きだから下向きよね。

物理が得意な秀樹
そうすると,中指はどっちを向く?

物理が苦手な文子
中指は左を向くわね。

物理が得意な秀樹
誘導起電力の向きが左ということは,回路に書き込むとこんな感じになるということだよ。

物理が苦手な文子
a側が正極の電池ということね。ということは,電流はadcbaの向きに流れると考えていいわよね。

物理が得意な秀樹
abcdaの向きが正だから,電流は負だね。これで,②か④に絞られたね。

物理が苦手な文子
あとは,時刻Tで電流が0になるのか,そのまま電流が流れ続けるのか,という2択ね。

物理が得意な秀樹
時刻Tはコイルがすべて磁場に入った時だよね。

物理が苦手な文子
コイルが全部磁場に入っても,辺abに生じる誘導起電力はそのままよね。磁場中を導体棒が運動すれば誘導起電力が発生するんだから。

物理が得意な秀樹
確かにその通りだ。その通りなんだけど,コイルが全部磁場に入ると,今度は辺dcにも誘導起電力が生じるんだ。

物理が苦手な文子
そうか。辺dcも磁場の中で下向きに動いているから,辺abと同じように誘導起電力が生じるのね。

物理が得意な秀樹
そうだね。辺abにも辺dcにも左向きの誘導起電力が生じるから,打ち消し合って結局電流は流れないんだ。

物理が苦手な文子
どちらの誘導起電力も,大きさがV=vBwだから,逆向きで打ち消し合うということね。

物理が得意な秀樹
そういうことだね。別の考え方として,コイルがすべて磁場に入ると「コイルを貫く磁束が変化しないので誘導起電力は生じない」,としてもいいね。

物理が苦手な文子
そっちの方が簡単ね。

物理が得意な秀樹
まぁそうだね。どっちにしても,答えは④だ。

■「等速」なら「力のつり合い」を考える

物理が苦手な文子
「一定の速さv」を求める問題ね。等速だから,速さ=距離÷時間よね。つまり,t=0からt=Tの間に\ellだけ落下するから,こうね。

    $$v=\frac{\ell}{T}$$

物理が得意な秀樹
その通りだよ。そうなんだけど,選択肢の中にその答えがないよね。

物理が苦手な文子
ということは,\ellTを他の文字で表せばいいわよね。

物理が得意な秀樹
ところが,うまく他の文字で表せないんだよ。

物理が苦手な文子
じゃあどうすればいいの?

物理が得意な秀樹
他の方法を考えるしか無いんだよ。これがセンター試験などのマーク形式の問題のイヤなところだね。選択肢がある問題は選べばいいだけだから簡単な感じもするけど,自分の出した答えが合っているのに選択肢に無い,ということもあるんだよ。

物理が苦手な文子
そういう時は,別の方法を考えるしか無いのね。等速だから,速さ=距離÷時間を使うと思ったけど,使わないとすればどうすればいいの?

物理が得意な秀樹
「一定の速さ」というキーワードで思い出して欲しいのは,「力のつり合い」なんだ。

物理が苦手な文子
動いているのに力がつり合っているということ?

物理が得意な秀樹
そうだよ。「慣性の法則」ってあるでしょ。

物理が苦手な文子
そうか,力がつり合っていれば等速直線運動をするんだから,逆に等速直線運動をしていれば,力がつり合っていると考えていいのね。

物理が得意な秀樹
そうなんだよ。なので,まずは力の矢印を描くんだ。

物理が苦手な文子
必要なのは,コイルが途中まで磁場に入っているときの図ね。それじゃあ,まずは重力ね。

物理が苦手な文子
あとは,くっついているものがないので,これで終わり?

物理が得意な秀樹
重力だけだと力はつり合わないよね。

物理が苦手な文子
そうよね。鉛直上向きの力がはたらいているはずよね。

物理が得意な秀樹
鉛直上向きにはたらいているのは,電流が磁場から受ける力だね。

物理が苦手な文子
あっそうか,「フレミング左手の法則」で求める力ね。

物理が得意な秀樹
そうだよ。ただフレミング左手の法則では,力の向きしか分からないけどね。

物理が苦手な文子
そうか,力の向きは,鉛直上向きって決まっているのよね。

物理が得意な秀樹
その通り。力の向きはすでに分かっているんだ。でも一応確認しておこうか。電流の向きはこうだったね。

 

物理が苦手な文子
ということは,フレミング左手の法則より,電流が磁場から受ける力はこうね。

物理が得意な秀樹
確かにコイルの辺abが受ける力は鉛直上向きだけど,左右の辺も力を受けるよ。

物理が苦手な文子
あっそうか忘れてた!左右の辺にも力がはたらくのね。こんな感じ?

物理が得意な秀樹
そうだね。この左右方向の力は逆向きで同じ大きさの力だから,つり合っていて今は考えなくていいね。

物理が苦手な文子
どうして同じ大きさの力だって分かるの?

物理が得意な秀樹
長さlの導線を流れる電流Iが磁束密度Bの磁場から受ける力の大きさFは,こう表せるんだ。

物理が苦手な文子
見たことがあるわ。

物理が得意な秀樹
フレミング左手の法則からもわかるけど,この式のFIBはそれぞれ垂直の関係だからね。垂直じゃない場合は,垂直な成分を考えることになるよ。

物理が苦手な文子
フレミング左手の法則を考えるときの指も,それぞれ垂直な方を指すものね。

物理が得意な秀樹
そういうことだね。コイルにはたらく左右方向の力を見てみると,左右の辺で,IBlがすべて同じだから,はたらく力の大きさFも同じなので,力がつり合っているんだね。

物理が苦手な文子
それじゃあ,あらためてコイルにはたらく力を考えてみると,辺abの長さがwだからこんな感じね。

物理が得意な秀樹
そして,コイルが一定の速さで落下しているから,鉛直方向の力もつり合っているんだよね。

物理が苦手な文子
求めたいのはその一定の速さvだけど,鉛直方向の力のつり合いの式を立ててもvは出てきそうもないわ。一応鉛直上向きを正として,力のつり合いの式を立てるとこうね。

    $$IBw-mg=0$$

物理が得意な秀樹
そうだね。そもそも図の中にvという文字がないもんね。実は,図の中の文字でいうと,電流Iは与えられていないんだよね。

物理が苦手な文子
それじゃあ,まず電流を求めなきゃダメね。どうすればいい?

物理が得意な秀樹
実は電流はもう求めたよね。前半の問3の途中だよ。

物理が苦手な文子
そういえば,そうだったわね。こうね。

    $$I=\frac{vBw}{R}$$

物理が得意な秀樹
そうだったよね。さっきのつり合いの式と合わせて,vを求めよう。

物理が苦手な文子
あとは簡単ね。つり合いの式に今のIを代入するわね。

    $$\frac{vBw}{R}\times Bw-mg=0$$

    $$\frac{vB^2w^2}{R}=mg$$

    $$\therefore v=\frac{mgR}{B^2w^2}$$

物理が得意な秀樹
その通り。正解は④だ。