センター2017物理第５問「ドップラー効果」

2017.06.23

 

 

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■近づくときの振動数は？

物理が苦手な文子
ドップラー効果の問題ね。

物理が得意な秀樹
問題としては音源が動いていることのほうが多いけど，この問題のように観測者が動いている場合もあるよね。

物理が苦手な文子
最初は観測者が聞く音の振動数ね。ドップラー効果の公式が使えるわね。

物理が得意な秀樹
ちょっと待って！公式を使わなくても，振動数の大小を聞いているだけの問題だから，わかるでしょ。

物理が苦手な文子
なるほど。今は音源と観測者が近づいているので，振動数は大きくなるのね。

物理が得意な秀樹
そうだね。波長はどうなるかな？

物理が苦手な文子
波長も近づく場合と，遠ざかる場合で決まってるの？

物理が得意な秀樹
波長は音源だけで決まるんだ。音源が動いていれば波長は変わるけど，音源が止まっていれば波長は変わらないよ。

物理が苦手な文子
そうなのね。波長が変わらないということは，波の速さと振動数と波長の関係を使うのね。

物理が得意な秀樹
この式は音に限らず，波の分野ではよく出てくるから覚えてるよね。それじゃあ波長を計算してみよう。

物理が苦手な文子
計算と言っても入れるだけね。v=f\lambdaより，

    $$V=f_1\lambda$$

    $$\lambda=\frac{V}{f_1}$$

物理が得意な秀樹
正解だ。答えは⑧だね。次は問２だ。

 

■波長を求める流れを理解しよう

物理が苦手な文子
また波長を求める問題だけど，今度は音源が動いているから，波長は変わるのね。

物理が得意な秀樹
そうだね。波長を求める公式っていうのもあるんだけど，今は公式の出し方も含めて考えてみよう。

物理が苦手な文子
でも，何をしたらいいのか，全く分からないわ。

物理が得意な秀樹
パターンが決まってるんだよね。まずは時間を決めるんだ。問題に特に指定がなければ，１秒間を考えるよ。この問題には単位が書かれていないけど，分かりやすく１秒間としちゃうよ。

物理が苦手な文子
１秒間のことを考えるのね。

物理が得意な秀樹
最初に音源から出た音は１秒後にはどこまで届くかな？

物理が苦手な文子
音の速さはVなので，音が届く距離は，速さ\times時間=V\times 1=Vまで届くわ。

物理が得意な秀樹
そうだね。一方，１秒後には音源はどこにいる？

物理が苦手な文子
音源の速さはvなので，同様にv\times 1=vのところにいるわ。

物理が得意な秀樹
１波長を１つの波だとすると，１秒間に何個の波が出るかな？

物理が苦手な文子
振動数って，１秒間に振動する回数よね。振動数がf_2ということは，１秒間にf_2個の波を出しているっていうこと？

物理が得意な秀樹
そういうことだ。ということは，V-vの長さの中に，f_2個の波が入っているということになるよね。

物理が苦手な文子
そうね。

物理が得意な秀樹
１つの波の長さが波長だよね。

物理が苦手な文子
なるほど。つまり，波長\lambdaは，

    $$\lambda=\frac{V-v}{f_2}$$

物理が苦手な文子
ということね。

物理が得意な秀樹
正解だ。答えは②だね。この波長の式を公式として扱っている参考書もあるね。

物理が苦手な文子
覚えた方がいいの？

物理が得意な秀樹
もちろん，覚えていれば使える場面もあるかもしれないけど，今やったように，この式の導出の流れを分かっていたほうがいいと思うよ。次は問３だ。

 

■ドップラー効果の公式は正の向きに気をつける

物理が得意な秀樹
問１，問２の流れもあるけど，ここはドップラー効果の公式を使って，オーソドックスに解いてみよう。

物理が苦手な文子
ドップラー効果の公式って，これね。

物理が得意な秀樹
ドップラー効果の公式自体も大切だけど，正の向きが決まっていることも重要だね。特にこの反射板が動く時には正の向きが途中で変わるので，注意が必要だ。

物理が苦手な文子
ここまではいいんだけど，まずどうすればいいの？

物理が得意な秀樹
反射板が動く場合は２段階で考えるんだ。

物理が苦手な文子
それでは，まず反射板が受ける音の振動数を求めるのね。

物理が得意な秀樹
図を描いて，正の向きをちゃんと確認しておくことが大切だね。そうすると，観測者である反射板が動く向きは負ということがわかるね。

物理が苦手な文子
それではドップラー効果の公式に当てはめてみるわ。

    \begin{eqnarray*}{f_1}'&=&\frac{V-(-v)}{V}f_1\\&=&\frac{V+v}{V}f_1\end{eqnarray*}

物理が得意な秀樹
いいね。

物理が苦手な文子
次は，反射板が{f_1}'の音を出しながら，音源が動くと考えるのね。

物理が得意な秀樹
正の向きが変わったことに気をつけてね。

物理が苦手な文子
大丈夫よ。

    \begin{eqnarray*}f_3&=&\frac{V}{V-v}{f_1}'\\&=&\frac{V}{V-v}\times\frac{V+v}{V}f_1\\&=&\frac{V+v}{V-v}f_1\end{eqnarray*}

    $$f_3(V-v)=f_1(V+v)$$

    $$f_3V-f_3v=f_1V+f_1v$$

    $$(f_3-f_1)V=(f_3+f_1)v$$

    $$v=\frac{f_3-f_1}{f_3+f_1}V$$

物理が得意な秀樹
素晴らしい！正解だ。答えは①だね。

 

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