センター2017物理追試第2問B「電場中,磁場中における荷電粒子の運動」

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■電場(電界)の向きと力

物理が苦手な文子
イオンが陰極を通過するときの速さを求めるんだから,上半分の磁場の部分は関係ないわよね。

物理が得意な秀樹
問3では全く関係がなさそうだね。

物理が苦手な文子
図の下にある「イオン源」って何?そこからイオンが出てくるっていうこと?

物理が得意な秀樹
そういうことだね。ただ化学では,イオンは通常水溶液中や,結晶中にあるものを扱うけど,この問いでは真空中にイオンを放出するので,化学とはちょっと違う方法でイオンを生成するんだ。でも生成方法が違ってもイオンはイオンだよ。

物理が苦手な文子
ふーん,そうなんだ。じゃあ,イオン源からイオンが飛び出るとして,その先がよく分からないわ。

物理が得意な秀樹
飛び出るといっても,問題文にある通り,初速度は0だけどね。次に大切なのは,「陽極」,「陰極」だね。これも問題文にあるけど,陽極と陰極の間には電場(電界)ができるんだ。電場の向きは分かるかな?

物理が苦手な文子
陽極から陰極の向きかな?

物理が得意な秀樹
そうだね。ということは,そこにイオンが入ってくると,力を受けるんだけど,力の向きは分かるかな?

物理が苦手な文子
確か,プラスの電荷は電場の向きに力を受けて,マイナスの電荷は電場の向きと逆向きに力を受けるのよね。

物理が得意な秀樹
その通り!

物理が苦手な文子
今は電荷q>0なので,電場の向きに力を受けるのね。

物理が得意な秀樹
力を受けると,その向きに加速することになるよね。

物理が苦手な文子
じゃあ,加速度を求めて等加速度直線運動の式に入れれば,求めたい速さが求まるわね。

物理が得意な秀樹
そうだね。その考え方は合ってるんだけど,この問いの条件設定では,ちょっと面倒くさいんだよね。陰極と陽極の間隔をdと置いて,電場の強さ,イオンが受ける力の大きさ,イオンの加速度を順に求めて,等加速度直線運動の式に入れれば答えは出るんだけどね。

物理が苦手な文子
なんか面倒くさそうね。

物理が得意な秀樹
順番に出していけば答えにはたどり着くので,簡単な方法を思いつかなければ,やるべきだと思うよ。

物理が苦手な文子
簡単な方法を思いつかないわ。でも簡単な方法を教えてよ。

■電位と静電気力による位置エネルギー

物理が得意な秀樹
そうか。ヒントとしては,エネルギーを考えるんだけど。

物理が苦手な文子
とりあえず求めたいのは陰極を通過するときの速さだから,vとするわね。

物理が得意な秀樹
そうすると,運動エネルギーを考えることはできるね。

物理が苦手な文子
加速するためのエネルギーは何かということね。

物理が得意な秀樹
こういう場合には,静電気力による位置エネルギーを考えるんだ。

物理が苦手な文子
見たことはある感じがする。

物理が得意な秀樹
この式で大切なのが,Vが電圧じゃなくて,電位を表していることなんだ。

物理が苦手な文子
電位なの?

物理が得意な秀樹
電位の考え方って,分かりにくいこともあるけど,この場合はそんなに難しくはないよ。問題の図では電位の基準が決められていないので,電池の負極を電位0としよう。

物理が苦手な文子
勝手にしちゃっていいの?

物理が得意な秀樹
問題文中で規定されていなければ,自分で決めていいんだ。重力による位置エネルギーの基準と一緒だね。そうすると,電池の正極の電位はVになるんだ。

物理が苦手な文子
電池の電圧がVだから?

物理が得意な秀樹
そういうことだよ。電圧がVの電池って負極に対して正極の電位をVだけ上げる道具なんだ。

物理が苦手な文子
そういうことね。

物理が得意な秀樹
そうすると,電池の負極とつながっている陰極の電位は0になり,電池の正極とつながっている陽極の電位はVとなるんだ。

物理が苦手な文子
これで,さっきの静電気による位置エネルギーの式を使うの?

物理が得意な秀樹
その通りだ。それじゃあ,エネルギー保存の式を立ててみよう。

物理が苦手な文子
それじゃあ,こんな感じ?

    $$\frac{1}{2}m\times 0^2+qV=\frac{1}{2}mv^2+q\times 0$$

    $$v=\sqrt{\frac{2qV}{m}}$$

物理が得意な秀樹
正解!答えは⑧だね。では,問2にいこう。

■円運動をする理由

物理が苦手な文子
今度は最初の図の上の部分の話ね。

物理が得意な秀樹
問3でvを求めたけど,問4の選択肢を見ると,vが使われているので,イオンが磁場に速さvで入るところから考えればいいね。

物理が苦手な文子
選択肢も見ておくことが大切ね。そこまではいいんだけど,軌道の半径を求めるってどういうこと?

物理が得意な秀樹
問題文にあるけど,この軌道は「半円軌道」なんだよ。イオンは磁場に入ると円運動をするんだね。なぜ円運動になるか分かる?

物理が苦手な文子
分からないわ。

物理が得意な秀樹
磁場中を運動する荷電粒子には,ローレンツ力という力がはたらくんだ。この問いでは正電荷を持ったイオンなので,速度の向きを電流の向きと考えて,フレミング左手の法則で力の向きが分かるんだ。

物理が苦手な文子
ということは,速度の向きが電流の向きで,磁場の向きが紙面の裏から表なので・・・力の向きは右向きね。

物理が得意な秀樹
そうだね。

物理が苦手な文子
荷電粒子の電荷が負の場合は,電流の向きを逆と考えればいいの?

物理が得意な秀樹
そういうことだ。今の場合は電荷は右向きの力を受けるので,起動が少し右を向くよね。そうすると,同じように考えると力の向きも少し変わるんだ。

物理が苦手な文子
なるほど。さらに続けていくと,こんな感じね。

物理が得意な秀樹
そうなんだよ。つまり,速度の向きと力の向きは常に直角なんだよね。ローレンツ力はどの場所でも1つの点の方向を向いているので,これが向心力となってイオンは円運動をするんだ。

■ローレンツ力と円運動の運動方程式

物理が苦手な文子
なんとなく円運動をすることは分かったわ。この円運動の半径を求めるにはどうすればいいの?

物理が得意な秀樹
半径をすぐに求めようとするよりは,円運動をしているんだから,運動方程式を立ててみよう,ということだな。

物理が苦手な文子
確かに円運動をしている場合は,運動方程式を立てることが多い感じがするわ。

物理が得意な秀樹
円運動って,そもそも円の中心向きに「向心加速度」を持つ加速度運動だから,運動方程式を立てるのが自然なんだ。立ててみようか。

物理が苦手な文子
運動方程式だから,ma=Fね。質量はmでいいわね。加速度は?

物理が得意な秀樹
円運動の加速度の式があったでしょ。

物理が苦手な文子
こんなやつだっけ?

物理が得意な秀樹
そうだね。今はvが分かっているから,最後の項を使うよね。

物理が苦手な文子
あとは力Fね。ローレンツ力を入れればいいの?

物理が得意な秀樹
そうだね。イオンにはローレンツ力しかはたらいていないし,今はそれが向心力になっているから,そのままローレンツ力を入れよう。ちなみにローレンツ力はこんな式で表されるよ。

物理が苦手な文子
それじゃあ,運動方程式を立ててみると,

    $$m\times \frac{v^2}{R}=qvB$$

    $$R=\frac{mv}{qB}$$

物理が得意な秀樹
正解だ。答えは③だね。

 

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