センター2018物理第1問 問5「くり抜いた円板の重心」

■重心の位置は見た目でだいたい分かる

物理が苦手な文子
三日月形の重心を求める問題ね。見たことある感じがするんだけど・・・

物理が得意な秀樹
切り取った円の部分がもう少し小さい問題はよくあるよね。でも大きくても小さくてもやり方は一緒だ。

物理が苦手な文子
どうすればいいんだっけ?

物理が得意な秀樹
とりあえず,まずは重心Gの位置が点Oの右か左かを考えようか。まぁ,考えるというよりも,見たら分からないかな。

物理が苦手な文子
上下対象だから,重心は中央の線上のどこかよね。

物理が得意な秀樹
そうだね。左右でいうとどっち?

物理が苦手な文子
縦に線を入れてみると分かりやすいですね。明らかに点Oよりも右側の面積が大きいから,重心Gは点Oの右側ね。

■AとBを合わせた重心は大きな円の中心

物理が得意な秀樹
そうだね。それでは実際に重心の場所を求めてみようか。

物理が苦手な文子
で,どうすればいいの?

物理が得意な秀樹
まず,三日月形Bの重心Gの位置をOの右側x[cm]のところにするよ。

物理が苦手な文子
あれ?Bの重心Gが三日月形の板上にないけどいいの?

物理が得意な秀樹
例えば,穴のあいたドーナツの重心は,ドーナツ上ではなく穴の真ん中にあるんだ。だから,三日月形の重心も三日月の上になくてもいいんだよ。

物理が苦手な文子
なるほど,分かったわ。それじゃあ,このxを求めればいいのね。

物理が得意な秀樹
そう。で,やり方なんだけど,切り取った円板を元に戻すことを考えるんだ。

物理が苦手な文子
元に戻すの?

物理が得意な秀樹
切り取った小さな円板Aと,切り取られた三日月形の板B合わせると元の大きな円板になるよね。

物理が苦手な文子
そうね。

物理が得意な秀樹
重心の位置を考えると,Aは円なので,重心は円の中心O^{\prime},Bの重心は今求めたいG,AとBを合わせた大きな円の重心はOだよね。

物理が苦手な文子
それぞれの重心の位置は分かるわ。

物理が得意な秀樹
これって,2つの物体を合わせたときの重心の話だよね。

物理が苦手な文子
AとBの2つの物体ね。確か2つの物体を合わせたときの重心って,何か公式があったわよね。

物理が得意な秀樹
こんなやつだね。

物理が苦手な文子
そんなやつ!

物理が得意な秀樹
もちろんこの式を使ってもできるんだけど,今は基本的な考え方でやろう。「重心」っていうのは「重さの中心」っていうことだから,まずはAとBの重さの比を求めるんだ。

■重さの比は面積の比

物理が苦手な文子
急に重さを求めると言われても,重さに関する情報が何も無いわ。

物理が得意な秀樹
「重さ」を求めるんじゃなくて,「重さの比」が分かればいいんだ。問題文に「一様な厚さの円板」ってあるでしょ。

物理が苦手な文子
問題文の1行目ね。

物理が得意な秀樹
厚さが一様だということは,
重さの比 = 面積の比
っていうことなんだよ。

物理が苦手な文子
なるほど。ということは,AとBの面積の比を求めればいいのね。

物理が得意な秀樹
そういうことだ。

物理が苦手な文子
まず,円Aの面積は,

    $$\pi \times 2.0^2 =4.0\pi cm^2$$

物理が苦手な文子
大きな円の面積は,

    $$\pi \times 3.0^2 = 9.0\pi cm^2 $$

だから,三日月形Bの面積は,

    $$9.0\pi - 4.0\pi =5.0\pi cm^2$$

物理が得意な秀樹
いいね。AとBの面積の比はどうなるかな?

物理が苦手な文子
4.0\pi : 5.0\pi =4:5 ね。

物理が得意な秀樹
これで面積の比が分かったから,重さの比も4:5だね。

物理が苦手な文子
そうね。

物理が得意な秀樹
そうすると,重さの関係を図にするとこんな感じになるんだ。

 

物理が苦手な文子
なるほど。O^{\prime}にはたらく力の大きさが4,Gにはたらく力の大きさが5ということね。

物理が得意な秀樹
そう。物体の重さは重心にはたらく力だと考えていいんだよね。とすると,このAとBの2つの重さを1つに合わせると,大きな円の中心Oに来るんだよね。そしてそのOは,Aの重さとBの重さの逆比,つまり5:4の位置に来るはずなんだ。

 

物理が苦手な文子
2つの重さの重心は,重たい方に近いということね。

物理が得意な秀樹
そうだね。これを元の図に戻してみるとこうなるよ。

物理が苦手な文子
そうか,こうなるのね。ここまでくれば,図を見て簡単に式を立てれるわね。

    \begin{eqnarray*}3.0-2.0:x&=&5:4\\5x&=&4\\x&=&0.8\end{eqnarray*}

物理が得意な秀樹
その通り。まとめると,Bの重心は「Oの右側0.8cm」のところとなって,答えは②だ。