センター2015物理第1問 問5「モーメントのつり合い」

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解説動画をYouTubeにUPしました。動画での解説と、このサイトでの解説を少し変えましたので、ぜひどちらも参考にしてください。


物理が苦手な文子
まずは力の矢印を描けばいいんだよね。でも、どうやって描けばいいの?

物理が得意な秀樹
最初に着目する物体を決めるんだ。この問題の場合は、棒だね。その棒にはたらいている力を描くよ。ポイントは

  • 重力を描く
  • くっついているものから受ける力を描く

ということなんだ。描けるかな?

1-5.001

物理が苦手な文子
まずは重力ね。大きさはmg。次はくっついているものね。糸がくっついているから、糸の張力を描くわね。糸の張力はTでいいの?

1-5.002

物理が得意な秀樹
いいね。この問題はそのTを求めたいんだね。

物理が苦手な文子
あとくっついているのは、ちょうつがいのところだけど、力はどっち向き?

1-5.003

物理が得意な秀樹
ちょうつがいのところをA点とするよ。実はAにはたらいている力の向きは難しいんだ。棒にはたらいている力は重力mgと張力TとAにはたらく力の3つしかないんだよね。この3つの力がつり合っていると考えると、Aにはたらく力の向きは求めることができるんだけど、残念ながら正確には分からないね。

物理が苦手な文子
分からないなら、どうすればいいの?

物理が得意な秀樹
力の向きがわからないと力のつり合いの式は立てられないけど、1つくらい力の向きがわからなくても立てられる式があるんだ。

物理が苦手な文子
そんな事ってあるの?

物理が得意な秀樹
A点のまわりの力のモーメントのつり合いの式だったら立てられるね。

物理が苦手な文子
モーメントってちょっと苦手。

物理が得意な秀樹
たしかにこの「力のモーメント」っていうページにも、「やっかい」って書いてあるけど、とにかくやってみよう!

物理が苦手な文子
まず大切なのはA点を中心とすると、A点にはたらく力は関係ないっていうことね。

物理が得意な秀樹
そうだね。モーメントって「力✕中心から力の作用線までの長さ」なんだけど、中心にはたらいている力は、作用線までの長さが0になるからモーメントも0になるんだね。

物理が苦手な文子
じゅあ、Tから考えるけど、Tの作用線までの長さってどこにも書いてないわ。

物理が得意な秀樹
そうだね。この問題には長さの情報が全くないね。こういう時は、自分で決めちゃえばいいんだ。ちょうど棒の長さがTまでの長さになっているので、棒の長さをlとしよう!

1-5.004

物理が苦手な文子
そうすると、A点のまわりのTのモーメントはT\times l でいいのかな?

物理が得意な秀樹
そうだよ。合ってるんだけど、向きも考えなきゃダメなんだ。まず、回転の中心Aと、Tだけを考えるよ。

1-5.006

物理が得意な秀樹
棒のAの部分だけ固定して、棒が回転できるようになっていると考えよう。このとき、棒はTによって回転するよね。時計回りに回転するか、反時計回りに回転するか、どっち?

物理が苦手な文子
反時計回りでしょ!

1-5.007

物理が得意な秀樹
そうだね。このとき、A点のまわりのTのモーメントは「正」だとするんだ。

物理が苦手な文子
反時計回りだと「正」で、時計回りだと「負」ということ?

物理が得意な秀樹
その通り!実際は正の決め方は分野によって違うんだけど、物理では「反時計回りを正」とすることが慣例になっているんだ。なので、A点のまわりのTのモーメントは+T\times l になるんだ。じゃあ、符号もむくめて、A点のまわりの重力のモーメントはどうなるかな?

物理が苦手な文子
点Aと重力mgだけ考えるのね。

1-5.009

物理が苦手な文子
時計回りだから、符号は「負」ね。だから、-mg\times ・・・えっと、長さはどうなるの?

物理が得意な秀樹
そうだね。A点からmgに垂線をおろして、その長さを求めればいいんだ。

1-5.005

物理が苦手な文子
mgは棒の中心から出ていて、さらに棒と垂線の角度は30度だから、\frac{\sqrt{3}}{4}lね。

物理が得意な秀樹
そう。だからA点のまわりの重力のモーメントは-mg\times \frac{\sqrt{3}}{4}lになるんだ。で、このTmgのモーメントがつり合って棒が回転しないので、A点のまわりの力のモーメントのつり合いの式を立てるとどうなるかな?

物理が苦手な文子
2つのモーメントを足して0になればつり合っているってことになるのね。なので、

    $$+T\times l -mg\times \frac{\sqrt{3}}{4}l=0$$

    $$T =\frac{\sqrt{3}}{4}mg$$

物理が苦手な文子
となるかな。

物理が得意な秀樹
正解!というわけで、答えは②でした。

物理が苦手な文子
最後までたどり着くのがたいへんだったけど、よーく分かったわ。