センター2016物理基礎第３問Ｂ「鉛直投射とy-tグラフ」

2016.07.17

3BB-1

物理が苦手な文子
この問題は、やったことがあるような気がする。

物理が得意な秀樹
まぁよくある問題だね。まず図を描いてみようか。

物理が苦手な文子
初速度v_0で真上に投げ上げたんだから、

3BB-3

物理が得意な秀樹
「最高点」って書いてあると、ある条件を考えるんだけど、分かるかな？

物理が苦手な文子
「最高点」といえば、v=0ね。

3BB-4

物理が得意な秀樹
あとは、重力加速度gを書いて、正の向きを決めようか。

物理が苦手な文子
正の向きは鉛直上向きでも、下向きでもいいのよね。

物理が得意な秀樹
どっちでも問題ないよ。でも初速度の向きを正とするのがおすすめだよ。

物理が苦手な文子
じゃあ、こんな感じでいいのかな。

3BB-5

物理が得意な秀樹
いいね。これで準備ができたので、等加速度直線運動の式を使って、t_1を求めてみようか。そういえば、等加速度直線運動の３つの式を覚えてる？

物理が苦手な文子
もちろん、覚えてるわ。

    $$v=v_0+at$$

    $$x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$$

    $$v^2-v_0^2=2ax$$

物理が得意な秀樹
ちゃんと覚えてるね。どの式を使おうか。

物理が苦手な文子
v=0が分かっていて、時間を求めたいんだから、最初の式を使えば良さそうね。正の向きに気をつけて、

    $$0=v_0-gt_1$$

    $$\therefore t_1=\frac{v_0}{g}$$

物理が得意な秀樹
正解。答えは②だね。次は問４。

3BB-2

物理が苦手な文子
グラフを選ぶ問題ね。

物理が得意な秀樹
縦軸は高さyで、横軸は時間tだね。

物理が苦手な文子
どれも形が似ているから、難しいわ。

物理が得意な秀樹
こういう場合は、まず与えられた条件で、yをtで表せないか考えるんだ。上手く知ってる関数で表すことができれば、グラフの形はすぐに分かるからね。

物理が苦手な文子
なるほどね。じゃあまず与えられた条件を図にしてみると、こんな感じ。

3BB-6

物理が得意な秀樹
いいじゃない！それをさっきの等加速度直線運動の３つの式のどれかで表せないかな。

    $$v=v_0+at$$

    $$x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$$

    $$v^2-v_0^2=2ax$$

物理が苦手な文子
yとtなんだから、２番目の式ね。上向きを正として、

    $$y=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$$

物理が得意な秀樹
正解！yをtで表せたじゃない。

物理が苦手な文子
表せたけど、これでグラフが分かるの？

物理が得意な秀樹
順番を入れ替えた方が分かりやすいかな。

    $$y=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t$$

物理が苦手な文子
ん？t^2の項があるから、tの２次関数っていうこと？

物理が得意な秀樹
もちろん、そういうことだよ。じゃあ、グラフはどれ?

物理が苦手な文子
t^2の項の係数が「ー」だから、上に凸の放物線かな？

物理が得意な秀樹
そういうことだね。なので答えは④だ。

物理が苦手な文子
えーーーっと、そんな簡単でいいの？

物理が得意な秀樹
いいんだよ。上に凸の放物線って選択肢の中には１つしかないじゃん！

物理が苦手な文子
まぁ、そうだけど・・・２次関数だから、頂点とか求めなくていいの？

物理が得意な秀樹
求めてみたら？

物理が苦手な文子
文字の計算がイヤだけどやってみるわ。

    \begin{eqnarray*}y&=&-\frac{1}{2}gt^2+v_0t\\&=&-\frac{1}{2}g\left( t^2-\frac{2v_0}{g}t\right)\\&=&-\frac{1}{2}g\left\{\left(t-\frac{v_0}{g}\right)^2-\frac{v_0^2}{g^2}\right\}\\&=&-\frac{1}{2}g\left(t-\frac{v_0}{g}\right)^2+\frac{v_0^2}{2g}\end{eqnarray*}

物理が得意な秀樹
できるじゃない！というわけで、頂点が、

    $$\left(\frac{v_0}{2},\frac{v_0^2}{2g}\right)$$

物理が得意な秀樹
で、上に凸の放物線だね。④のグラフと合ってるでしょ。

物理が苦手な文子
なるほど。答えは④で納得したわ。

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