センター2019物理第1問 問4「ピストンにはたらく力のつり合いと状態方程式」

シリンダー内の気体の圧力を求める

物理が苦手な文子
ピストンまでの高さhを求める問題ね。シリンダーの断面積がSと分かっているから,中の気体の体積がわかればhは求まるわね。
物理が得意な秀樹
そうだね。体積を求める方向で考えてみよう。
物理が苦手な文子
体積を求めるには,多分状態方程式pV=nRTを使うと思うんだけど,どう?
物理が得意な秀樹
そうだね。
物理が苦手な文子
でも,気体の圧力が分からないのよね。
物理が得意な秀樹
そうだね。だから状態方程式を立てる前に,圧力を求めるためにやることがあるんだ。
物理が苦手な文子
圧力を求めるっていうことは,使うのはボイル・シャルルの法則?
物理が得意な秀樹
ボイル・シャルルの法則は,圧力,体積,温度が変化した時の関係式だね。この問題では「変化する」という状況ではないね。
物理が苦手な文子
あと,圧力が出てくる公式って,思いつかないわ。
物理が得意な秀樹
公式で求めようとするから,出てこないんだね。
物理が苦手な文子
え?公式じゃないとすれば,どうすればいいの?

ピストンにはたらく力の矢印を描く

物理が得意な秀樹
ピストンにはたらく力の矢印を描く,っていう作業をやったことない?
物理が苦手な文子
そう言われると,やったことがある気がするわ。中の気体の圧力をpとして,ピストンにはたらく力の矢印を描くと,こんな感じでいい?
物理が得意な秀樹
いいね。それじゃあ,力の矢印を描いたら次はどうしよう?
物理が苦手な文子
次は力のつり合いの式ね。鉛直上向きを正とすると,

    $$pS-p_0S-mg=0 ・・・①$$

理想気体の状態方程式

物理が得意な秀樹
いいぞ。それじゃあ状態方程式も立ててみようか。
物理が苦手な文子
状態方程式は,体積がShと表せるから,

    $$pSh=nRT ・・・②$$

物理が得意な秀樹
あとは計算だ。
物理が苦手な文子
えっと,②より,

    $$h=\frac{nRT}{pS}$$


①を代入して

    $$h=\frac{nRT}{p_0S+mg}$$

物理が得意な秀樹
いいね。答えは⑤だ。