センター2015物理追試第２問Ａ「直流回路・コンデンサー」

2015.07.20

t2-A1

 

t2-A2

動画解説をYouTubeにUPしました。動画での解説と、このサイトでの解説を少し変えましたので、ぜひどちらも参考にしてください。

物理が苦手な文子
どこかで見たことがあるような回路だわ。確か、「ホイートストンブリッジ」ね。

物理が得意な秀樹
bd間に検流計が入っているとき「ホイートストンブリッジ」って言うんだね。bd間に何もなければ、抵抗が２つずつの並列回路なんだけど、bd間に入っているために、並列回路とか、直列回路とか言えなくなるんだ。ちょうどbd間を橋渡ししている感じなので、ブリッジ回路って言うんだ。

物理が苦手な文子
並列回路とか、直列回路だと合成抵抗を求めることで、回路に流れる電流が求められるのよね。この問題ではブリッジ回路になっているために合成抵抗は、すぐには求められないわ。こういうときは「キルヒホッフの法則」を使うって聞いたわ。

物理が得意な秀樹
おっ！よく分かってるね。例えば次のように電流を決めて、式を立てるんだね。

t2A.001

物理が苦手な文子
文字がいっぱいね。導かれる方程式を連立すれば解けるんでしょうけど、たいへんだわ。

物理が得意な秀樹
そうなんだよ。キルヒホッフの法則で解けるんだけど、計算が大変なんだ。なので、電位の考え方で解けないかな？

物理が苦手な文子
電位って分かりにくいのよね。

物理が得意な秀樹
大丈夫だよ。分かってくれると思うな。全部の抵抗がrなので、すごく簡単になるんだ。まずは等電位のところを分かりやすくするよ。

t2A.002

物理が苦手な文子
導線で繋がっているところが等電位なのよね。ここまでは分かるわ。

物理が得意な秀樹
この回路って、全ての抵抗がrなので、抵抗の配置が左右対称になっているよね。なので、図中に書いた各抵抗の電圧を考えると、V_{ab}=V_{ad}、V_{bc}=V_{cd}となるんだ。

物理が苦手な文子
抵抗が全部同じで、抵抗の配置も対称だからっていうことね。

物理が得意な秀樹
そうだね。その結果、bの電位とdの電位が同じになるよね。

物理が苦手な文子
bとdが等電位なのね。

t2A.003

物理が得意な秀樹
このとき、bd間にある抵抗には電流が流れる？

物理が苦手な文子
抵抗には電位の高い方から低い方へ電流が流れるのよね。だから、抵抗の両側が等電位っていうことは、電流が流れないっていうことかな？

物理が得意な秀樹
そういうことだね。左右対称ということと、bd間には電流が流れないということを考慮すると、次のような図になるよ。

t2A.004

物理が苦手な文子
電流計に流れる電流が、a点で２つに分かれて、左右対称だからちょうど半分ずつになるということね。

物理が得意な秀樹
このままでもいいんだけど、もう少し簡単な回路に書き直してみるとこうなるんだ。

t2A.005

物理が苦手な文子
rの抵抗が２つ直列に繋がっているので、2rになるのね。

物理が得意な秀樹
どちらの抵抗にもかかっている電圧はEなので、オームの法則を使ってみよう。

物理が苦手な文子
V=RIね。

    $$E=2r\times \frac{I_1}{2}=rI_1$$

    $$\therefore I_1=\frac{E}{r}$$

物理が得意な秀樹
そいうことだね。答えは１倍なので②だ。では、問２にいこう。

t2-A3

物理が苦手な文子
電圧をかける場所を変えたのね。

物理が得意な秀樹
そうするとどう考えればいいかな。

物理が苦手な文子
これは単純に並列回路じゃないかな？こんな感じ。

t2A.006

物理が得意な秀樹
それでいいんじゃないかな。じゃあ、どうしよう。

物理が苦手な文子
３つの抵抗の合成抵抗をRとすると、並列回路なので、

    \begin{eqnarray*}\frac{1}{R}&=&\frac{1}{2r}+\frac{1}{r}+\frac{1}{2r}\\&=&\frac{1}{2r}+\frac{2}{2r}+\frac{1}{2r}\\&=&\frac{4}{2r}\\&=&\frac{2}{r}\end{eqnarray*}

    $$\therefore R=\frac{r}{2}$$

物理が苦手な文子
これでいいかな。

物理が得意な秀樹
いいね。

t2A.007

物理が苦手な文子
あとはオームの法則を使って、

    $$E=\frac{r}{2}\times I_2$$

    $$\therefore I_2=2\times \frac{E}{r}$$

物理が得意な秀樹
というわけで２倍になるから、答えは⑤だね。最後に問３だ。

t2-A4

物理が苦手な文子
これは、なんか変なところに電圧がかかっていて、しかもコンデンサーが入ってる。難しそう！

物理が得意な秀樹
まずはまた等電位のところを同じ色で塗ってみよう。

t2A.008

物理が苦手な文子
ここまではできるわ。今はコンデンサーに蓄えられている電荷が必要なので、Q=CVは使うわよね。Cは与えられているから、Vを求めればいいわね。

物理が得意な秀樹
コンデンサーにかかる電圧は、すぐには求められないので、まずは「十分時間がたったとき」のc→b→a→dに流れる電流I_0を求めよう。

t2A.009

物理が苦手な文子
「十分時間がたった」というのは、コンデンサーに電流が流れなくなったときよね。なので直列に接続された３つの抵抗に電圧Eを接続したのと同じね。ということは、合成抵抗3r、オームの法則より

    $$E=3r\times I_0$$

    $$\therefore I_0=\frac{E}{3r}$$

物理が得意な秀樹
そうだね。では、bc間の電圧はどうなるかな？

t2A.010

物理が苦手な文子
流れている電流は今求めたI_0だから、

    \begin{eqnarray*}V_{bc}&=&r\times I_0\\&=&r\times \frac{E}{3r}\\&=&\frac{E}{3} \end{eqnarray*}

物理が得意な秀樹
ここまでは順調だね。問題はこの次かな。コンデンサーにかかる電圧V_{bd}は分かるかな？色分けした線がかなりヒントになっていると思うけど。

物理が苦手な文子
たぶん、EとV_{bd}が関係していると思うんだけど、どうなんだろう？

物理が得意な秀樹
dの電位を0としてみよう。cの電位は分かるかな？

物理が苦手な文子
電池は負極よりも正極の方が電位が高いから、cの電位はEかな？

物理が得意な秀樹
その通り！じゃあ、bの電位は？

物理が苦手な文子
V_{bc}=\frac{E}{3}だから、これを足すか、引くかなんだけど、どう考えるの？

物理が得意な秀樹
抵抗を流れる電流と電位の関係は？

物理が苦手な文子
そうか！抵抗には、電位の高い方から低い方へ電流が流れるから、cの方が電位が高いのね。ということはbの電位は引き算でいける！

    $$E-\frac{E}{3}=\frac{2E}{3}$$

物理が苦手な文子
これがbの電位なので、dの電位を0にしたから、コンデンサーにかかる電圧は

    $$V_{bd}=\frac{2E}{3}$$

物理が得意な秀樹
できてるね。それでは、コンデンサーにたくわえられている電荷Qを求めよう！

物理が苦手な文子
計算してみると、

    \begin{eqnarray*}Q&=&CV\\&=&C\times \frac{2E}{3}\\&=&\frac{2}{3}CE\end{eqnarray*}

物理が得意な秀樹
つまり答えは④だね。

コメント

  1. センター試験の過去問をいつ解いているのか - 理科が好き！.com より:
    2017年1月18日 20:27

    […] 2015年度追試第２問Ａ「直流回路・コンデンサー」 […]

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