センター2016物理第5問「理想気体の状態方程式」

5-1

物理が苦手な文子
ボイル・シャルルの法則とか、気体の状態方程式を使いそうね。

物理が得意な秀樹
ボイル・シャルルの法則って、気体の状態が変化したときに使うことが多いけど、この問題はまだ変化しないね。

物理が苦手な文子
それじゃあ、気体の状態方程式を立ててみようかな。pV=nRTよね。えーと、気体の温度Tが分からないわ。気体定数Rも与えられていないし。

物理が得意な秀樹
そうだね。まぁこの問題は圧力の”比”を求めることになっているから、TRは約分されて消えるんじゃないかな。ただ、容器Aと容器Bで温度が同じだっていうことは分かる?

物理が苦手な文子
えっ、確かにどこにも書いていないけど、最初から同じだと思ってた。

物理が得意な秀樹
一応書いてあるよ。まず二つの容器は熱をよく通して、大気中におかれているんだよね。そして大気の温度は常に一定なんだよ。

5-4

物理が苦手な文子
ということは、大気の温度と、容器A内の気体の温度と、容器B内の気体の温度はすべて常に一定ということね。

5-5

物理が得意な秀樹
そういうことだね。なので、大気の温度をTとして、気体の状態方程式を立ててみよう。

物理が苦手な文子
まずは容器A。

    $$ p_AV_A=n_ART$$

物理が苦手な文子
容器Bは、

    $$p_BV_B=n_BRT $$

物理が苦手な文子
だね。

物理が得意な秀樹
\frac{p_A}{p_B}を求めたいんだから、両辺をそのまま割っちゃえばいいかな。

物理が苦手な文子
単純に割ってみるわよ

    $$\frac{p_AV_A}{p_BV_B}=\frac{n_A}{n_B}$$

    $$\frac{p_A}{p_B}=\frac{n_AV_B}{n_BV_A}$$

物理が得意な秀樹
答えは③だね。次は問2。

5-2

物理が得意な秀樹
コックを開けたときの圧力を求めるんだけど、コックを開けたら体積、モル数、温度はどうなるかな?

物理が苦手な文子
体積は合わせるのでV_A+V_Bでしょ。モル数も合わせてn_A+n_Bよね。温度はさっき常にTだと確認したわよね。

物理が得意な秀樹
そうだね。ということは、また気体の状態方程式かな。

物理が苦手な文子
全体で考えるのね。

    $$p(V_A+V_B)=(n_A+n_B)RT$$

    $$p=\frac{(n_A+n_B)RT}{V_A+V_B}$$

物理が苦手な文子
ここからどうしよう。

物理が得意な秀樹
そうだね。選択肢を見ると、分母にVが来るのは良さそうだけど、nRTが入っている選択肢はないね。新しく式を立てられたら良いんだけど・・・

物理が苦手な文子
分子にあるnRTが選択肢にあるpVに変換できればいいのよね。ということは、最初に立てた2本の気体の状態方程式が使えるんじゃない?

物理が得意な秀樹
そうだね。よく気がついたね。

    $$p_AV_A=n_ART $$

    $$p_BV_B=n_BRT $$

物理が得意な秀樹
この2本を代入してみようか。

物理が苦手な文子
それじゃあ、

    $$p=\frac{n_ART+n_BRT}{V_A+V_B}$$

    $$p=\frac{p_AV_A+p_BV_B}{V_A+V_B}$$

物理が得意な秀樹
そういうことだね。なので答えは③だ。最後に問3。

5-3

物理が苦手な文子
内部エネルギーの問題ね。内部エネルギーの式は確か、

    $$U=\frac{3}{2}nRT$$

物理が苦手な文子
よね。

物理が得意な秀樹
よく覚えているね。でも違うんだ。

物理が苦手な文子
えっ、違うの?

物理が得意な秀樹
そのU=\frac{3}{2}nRTが使えるのは、「単原子分子」の時だけなんだ。「単原子分子」についても問題が多いけど、この問題には「単原子分子」っていう言葉は出てこないんだよね。なので、この式は使えないんだ。「単原子分子」とセットで覚えておいてね。

物理が苦手な文子
そうなんだ。覚えておくわ。じゃあ、どうすればいいの?

物理が得意な秀樹
単原子分子じゃなくても、内部エネルギーUが、絶対温度Tに比例するっていうことは間違いないんだ。

物理が苦手な文子
ということは、この問題では内部エネルギーの差を求めたいんだから、絶対温度の変化を考えればいいのね。

物理が得意な秀樹
そういうことだ!

物理が苦手な文子
絶対温度の変化は・・・あっ、変化しないんじゃない?最初に温度は常に一定だと確認したわよね。

物理が得意な秀樹
その通り!温度が変化しないということは、内部エネルギーも変化しない。

物理が苦手な文子
つまり、答えは⑤の0ね。

物理が得意な秀樹
正解!