センター2016物理追試第1問 問4「斜面上の物体が転倒する条件」

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物理が苦手な文子
斜面上を滑る問題はよく見るけど、転倒するのはやったことないわ。

物理が得意な秀樹
そうだね。でも時々ある問題なんだよね。しかも知っているのと知らないのとでは、難しさが大きく変わるので、一度やったら覚えておいた方が良いよ。

物理が苦手な文子
分かったわ。まずどうするの?

物理が得意な秀樹
まず「滑らずに転倒する条件」だから、「滑らない」条件を先に考えようか。

物理が苦手な文子
それならやったことあるわよ。この場合だと、重力の斜面下方成分より最大摩擦力が大きければ良さそうよね。

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物理が得意な秀樹
そうだね。あとは転倒する条件だね。実は図を描くとすぐ分かるんだよ。

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物理が得意な秀樹
ちなみにこの図だと、左は倒れないけど、右は倒れるんだ。

物理が苦手な文子
そうなの?どういうこと?

物理が得意な秀樹
重力の矢印がどこを通っているのかで、分かるんだ。重力の矢印が、底面と交わっていれば倒れないけど、交わっていなければ倒れるんだ。

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物理が苦手な文子
そういうことなの?難しくはないし、理解しやすいわ。

物理が得意な秀樹
でしょ。なぜこうなるかというと、力のモーメントがつりあっていれば倒れないけど、つりあっていなければ倒れるということなんだ。

物理が苦手な文子
モーメント?まぁそうか。倒れるっていうことは、回転するっていうことか。

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物理が得意な秀樹
まずは傾いていないときの図から考えようか。板が傾いていなければ、重力と垂直抗力だけで、摩擦力はないよね?

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物理が苦手な文子
まぁそうね。

物理が得意な秀樹
板を徐々に傾けていくと、静止摩擦力が徐々に大きくなっていくよね。実はその時に、垂直抗力の作用点が斜面下方に移動していくんだよ。

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物理が苦手な文子
えっ?どういうこと?垂直抗力って底面の真ん中に描くんじゃないの?

物理が得意な秀樹
斜面だったり、水平でも横方向の力がはたらいているときには、垂直抗力は真ん中ではないんだ。これは、垂直抗力の作用点が底面の真ん中だと絶対に力のモーメントがつりあわないんだ。物体は回転していないので、力のモーメントはつりあっているはずで、ということは、垂直抗力の作用点は真ん中ではないんだね。で、どこになるかというと、この場合は重力の矢印と底面の交点が作用点なんだ。

物理が苦手な文子
へ~初めて知ったわ。

物理が得意な秀樹
板の角度を大きくしていって、重力の矢印が角に来るときまでは物体は倒れない。垂直抗力の作用点が角にあると考えられるからね。ところが重力の矢印と、底面の交点が無くなると倒れるんだよ。垂直抗力は角までしか移動できないから、力のモーメントがつりあわなくなるんだね。

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物理が苦手な文子
まとめると、倒れるぎりぎりの角度は、重力の矢印が物体の角に来たときね。その時に滑らない条件を満たしていれば、ぎりぎり倒れない。その角度をちょとでも超えると転倒するのね。

物理が得意な秀樹
じゃあ、そのぎりぎりの角度を\thetaとして計算してみようか。

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物理が苦手な文子
まずは力のつりあいの式ね。

    $$mg\sin\theta - f = 0 $$

    $$N-mg\cos\theta = 0 $$

物理が苦手な文子
ここで、滑らないためには、静止摩擦力fが最大摩擦力\mu Nより小さければいいので、

    $$f=mg\sin\theta < \mu N $$

物理が苦手な文子
Nを消去すると、

    $$mg\sin\theta < \mu \times mg\cos\theta $$

    $$\sin\theta < \mu \cos\theta $$

物理が苦手な文子
さて、これからどうしよう?

物理が得意な秀樹
今、\thetaは与えられていなかったので、\thetaを求める必要があるね。

物理が苦手な文子
どうすればいいのか全く分からないわ。

物理が得意な秀樹
重力の線をまっすぐ上に延ばしてみると、ちょうど図の長方形の対角線になるよね。対角線の長さは三平方の定理で求まるから、\sin\theta\cos\thetaが求まるね。
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物理が苦手な文子
えっと、

    $$\sin\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

    $$\cos\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

物理が得意な秀樹
いいじゃない。それをさっきの式に代入すると?

物理が苦手な文子
代入すると、

    $$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} < \mu \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

    $$a<\mu b$$

物理が苦手な文子
あっ、答えがでた。

物理が得意な秀樹
正解!答えは④だね。