![1t-4](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2016/07/1t-4.png)
斜面上を滑る問題はよく見るけど、転倒するのはやったことないわ。
そうだね。でも時々ある問題なんだよね。しかも知っているのと知らないのとでは、難しさが大きく変わるので、一度やったら覚えておいた方が良いよ。
まず「滑らずに転倒する条件」だから、「滑らない」条件を先に考えようか。
それならやったことあるわよ。この場合だと、重力の斜面下方成分より最大摩擦力が大きければ良さそうよね。
![1t-4-12](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2016/07/1t-4-12.png)
そうだね。あとは転倒する条件だね。実は図を描くとすぐ分かるんだよ。
![1t-4-1](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2016/07/1t-4-1.png)
ちなみにこの図だと、左は倒れないけど、右は倒れるんだ。
重力の矢印がどこを通っているのかで、分かるんだ。重力の矢印が、底面と交わっていれば倒れないけど、交わっていなければ倒れるんだ。
![1t-4-2](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2016/07/1t-4-2.png)
そういうことなの?難しくはないし、理解しやすいわ。
でしょ。なぜこうなるかというと、力のモーメントがつりあっていれば倒れないけど、つりあっていなければ倒れるということなんだ。
モーメント?まぁそうか。倒れるっていうことは、回転するっていうことか。
![1t-4-11](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2016/07/1t-4-11.png)
まずは傾いていないときの図から考えようか。板が傾いていなければ、重力と垂直抗力だけで、摩擦力はないよね?
![1t-4-8](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2016/07/1t-4-8.png)
板を徐々に傾けていくと、静止摩擦力が徐々に大きくなっていくよね。実はその時に、垂直抗力の作用点が斜面下方に移動していくんだよ。
![1t-4-9](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2016/07/1t-4-9.png)
![1t-4-10](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2016/07/1t-4-10.png)
えっ?どういうこと?垂直抗力って底面の真ん中に描くんじゃないの?
斜面だったり、水平でも横方向の力がはたらいているときには、垂直抗力は真ん中ではないんだ。これは、垂直抗力の作用点が底面の真ん中だと絶対に力のモーメントがつりあわないんだ。物体は回転していないので、力のモーメントはつりあっているはずで、ということは、垂直抗力の作用点は真ん中ではないんだね。で、どこになるかというと、この場合は重力の矢印と底面の交点が作用点なんだ。
板の角度を大きくしていって、重力の矢印が角に来るときまでは物体は倒れない。垂直抗力の作用点が角にあると考えられるからね。ところが重力の矢印と、底面の交点が無くなると倒れるんだよ。垂直抗力は角までしか移動できないから、力のモーメントがつりあわなくなるんだね。
![1t-4-11](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2016/07/1t-4-11.png)
まとめると、倒れるぎりぎりの角度は、重力の矢印が物体の角に来たときね。その時に滑らない条件を満たしていれば、ぎりぎり倒れない。その角度をちょとでも超えると転倒するのね。
じゃあ、そのぎりぎりの角度を
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88d80b77176122c37c2a3e139073e539_l3.png)
として計算してみようか。
![1t-4-13](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2016/07/1t-4-13.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $$mg\sin\theta - f = 0 $$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a509301dfffa1dd49043af634e5cb0aa_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $$N-mg\cos\theta = 0 $$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-494f2aa7c31b67de71c3764efa969c50_l3.png)
ここで、滑らないためには、静止摩擦力
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df1cb8d8b2059be158b3eefd9ddea51f_l3.png)
が最大摩擦力
![Rendered by QuickLaTeX.com \mu N](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dcc23822a988261f6d6ae3f1ae9ae7ea_l3.png)
より小さければいいので、
![Rendered by QuickLaTeX.com $$f=mg\sin\theta < \mu N $$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37ee0182557b6ea5382d18d1f9c3767f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com N](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f8cdf7858fabdd1d4ad8e104a8547e8f_l3.png)
を消去すると、
![Rendered by QuickLaTeX.com $$mg\sin\theta < \mu \times mg\cos\theta $$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dd86aadd4a6e848d0c8bca1eae8ae568_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $$\sin\theta < \mu \cos\theta $$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3963838b1324168f22578240fcedd9da_l3.png)
今、
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88d80b77176122c37c2a3e139073e539_l3.png)
は与えられていなかったので、
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88d80b77176122c37c2a3e139073e539_l3.png)
を求める必要があるね。
重力の線をまっすぐ上に延ばしてみると、ちょうど図の長方形の対角線になるよね。対角線の長さは三平方の定理で求まるから、
![Rendered by QuickLaTeX.com \sin\theta](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7ae7d6d6deae3e5669195ab68731c2f0_l3.png)
、
![Rendered by QuickLaTeX.com \cos\theta](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-30c641caa886ab4f78cd01238f9a0cf8_l3.png)
が求まるね。
![1t-4-14](https://www.rikagasuki.com/wp-content/uploads/2016/07/1t-4-14.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $$\sin\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-22ee8a56a179007b527c8555e270dbd1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $$\cos\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1ec568df6d04b9b8ccd242e8415fdd6b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} < \mu \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5c28ba9a5c2827a1b42a43bf505a16a1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com $$a<\mu b$$](https://www.rikagasuki.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8728f2e9d76bbd2725259e4f227eb207_l3.png)
コメント
[…] 2016年度追試第1問 問4「斜面上の物体が転倒する条件」 […]